TP N° 1: NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Los números reales se representa con la letra R. El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero). 

• Los números naturales nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales. Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división. Usaremos el símbolo N para representarlos.

• El conjunto de los números enteros es igual al de los números naturales unido con sus negativos y el 0. Usaremos el símbolo Z para representar dicho conjunto.

• El conjunto de números racionales o conjunto de números fraccionarios, al conjunto de todas las posibles expresiones del tipo ab, donde a y b son números enteros y b es diferente de cero.  Representaremos este conjunto por medio del símbolo Q.

Q={ab∣a,b∈Z y b≠0}

La anterior expresión debe ser leída así: “Q es el conjunto de las expresiones ab, tales que a y b son números enteros y b es diferente a cero”.

• Por último, los números irracionales son los números que no se pueden escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción).

 Se muestra a continuación un mapa conceptual de números reales:

¿ A QUÉ NOS REFERIMOS CON CONJUNTOS NUMÉRICOS DISCRETOS Y DENSOS?

• Que el conjunto de números naturales sea discreto, significa que, entre dos números naturales existe una cantidad finita de números naturales, y lo mismo ocurre con los enteros. Por ejemplo: entre el 1 y el 4 es posible contar cuantos números se encuentran (2 y 3) por eso se lo llama una cantidad finita. Son números exactos, sin comas.

• Que el conjunto de números racionales sea denso significa que entre dos
  números racionales hay infinitos números racionales, y lo mismo ocurre con
  los reales. Por ejemplo: entre el 1 y el 2 hay una cantidad infinita de números que se puedan encontrar.

  
  
  
  
  
  

  SUCESIONES ARITMÉTICAS

  Es una sucesión de números, en la cual la diferencia entre dos elementos consecutivos es una constante. Es decir, cualquier término o elemento de la sucesión aritmética es igual al anterior más una constante. Esa constante se representa con una n.

  
  

  • A continuación, un vídeo explicativo de qué es una sucesión aritmética, con ejemplos muy claros.  

  
  

  
  

  
  

  EL NÚMERO E

  El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas.

  Las primeras cifras son:

  2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

  Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler.

  
  

  
  

  • Hablando de el número e dentro de las sucesiones que anteriormente vimos, podemos decir que el número e es una constante. El valor de (1 + 1/n)ⁿ  se aproxima a e cuanto más grande es n. En esta sucesión sin importar que número se toma como n, jamás será mayor que 3 y siempre será positivo: 

  
  

  
  

  

  
  

  • Estos serían los primeros diez términos de la sucesión. Pero si quisiéramos saber cuántos vale el término 100 o 1000 simplemente tendríamos que cambiar la n, que es la constante, por el número del término que queremos saber. Así:

  
  

  

  
  

  
  
  
  
  

VALOR ABSOLUTO

En matemáticas, hay un concepto para tratar con situaciones donde el tamaño importa más que el signo. Se llama valor absoluto. El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo.

ENFOQUE NUMÉRICO

Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales. No hay que confundir las |barras de valor absoluto| con los (paréntesis) o los [corchetes]. No son los mismos símbolos, y las reglas que los evalúan son diferentes.

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

Cuando las barras de valor absoluto contienen una expresión que incluye operaciones, la expresión debe ser evaluada antes de encontrar el valor absoluto. Considera la expresión |6 − 4|. Antes de que podamos obtener el valor absoluto de la expresión, tenemos que efectuar la resta. Cuando hacemos eso, |6 − 4| se convierte |2|. Ahora podemos calcular el valor absoluto de la expresión — es el valor absoluto de 2, el cual es 2.

|6 − 4| = |2| = 2

De manera similar, para la expresión |15 − 21|, debemos realizar primero las operaciones dentro de las barras de valor absoluto.

|15 − 21| = |-6| = 6

ENFOQUE GRÁFICO

En la recta numérica, el valor absoluto de un número o una expresión es la distancia entre el valor y cero. Cuando usamos la recta numérica para explorar el valor absoluto, éste siempre estará en cero o a la derecha del cero. Si el valor original es positivo o cero, el valor absoluto estará sobre el original.

 Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán en el mismo lugar. El |3| es 3. En éste caso, el valor original y el valor absoluto se posicionan 3 unidades a la derecha del cero en la recta numérica.

Si el valor original es negativo, el valor absoluto quedará a la misma distancia del cero que el valor original, pero en el otro lado del origen. El |-4| es 4. Si graficamos el valor original y el valor absoluto, ambos quedarán a la misma distancia del cero, pero en direcciones opuestas.

El valor absoluto es un concepto útil cuando sólo estamos interesados en el tamaño de la diferencia entre dos números. El valor absoluto nos da la distancia, pero descarta la información con respecto a la dirección. 

Intervalos 

• El intervalo está determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Existen tres tipos de Intervalos:

• Intervalo abierto: Un intervalo abierto no incluye a sus extremos, y se indica entre paréntesis. (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a , b)= {x  a < x < b}

• Intervalo cerrado: Un intervalo cerrado incluye sus extremos, y se representa con corchetes. [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

  [a, b] = {x  a ≤ x ≤ b}

• Intervalo semiabierto: Puede ser semiabierto por la izquierda  (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
  (a, b] = {x   a < x ≤ b}

O semiabierto por la derecha,  [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  a ≤ x < b}

A continuación un vídeo explicativo con sencillos ejemplos de cada uno:

¿QUÉ ES UNA DESIGUALDAD EN MATEMÁTICA?

• Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual 

< menor que 

> mayor que 

≤ menor o igual que 

≥ mayor o igual que

¿CÓMO EXPRESAR LOS INTERVALOS EN TÉRMINOS DE DESIGUALDADES?

• Si por ejemplo tuviéramos el intervalo (-3 ; 0) y quisiéramos pasarlo en términos de desigualdades nos quedaría así: -3 < x < 0 , ya que los paréntesis dijimos anteriormente que representan que el número no se incluye en los extremos de el intervalo. Entonces se lee que x es mayor a -3 y menor que 0.

 Ahora si tuvieramos por ejemplo el intervalo [2 ; 8) y quisiéramos pasarlo a desigualdad entonces quedaría así: 2 ≤ x < 8. Porque el corchete indica que 2 se incluye dentro de los extremos de el intervalo, dejando así un intervalo semiabierto, ya que el 8 está cerrado con un paréntesis que NO indica que se incluya dentro del mismo. Entonces se lee que x es mayor- igual a 2 y menor que 8.

 Algunos ejemplos más con sus respectivos gráficos. Los intervalos: [2 ; ∞ )

                                                                                                                       [2 ; 8]

                                                                                                                     [-6 ; 1/2]

                                                                                                                     (-∞ ; 1)

• Pero si quisiéramos hacerlo al revés, pasar una desigualdad a notación de intervalo, el proceso sería más o menos el mismo. Todas las desigualdades que signifiquen "mayor que" deben ser marcadas con un paréntesis de apertura ( y todas las que signifiquen "menor que" con un paréntesis de cierre ) .Las que signifiquen "más que o igual a" deben ser marcadas con un corchete izquierdo [ y todas las que signifiquen "menor que o igual a" con un corchete de cierre ]. Cuando aparece el signo infinito se colocan paréntesis. Algunos ejemplos con sus respectivos gráficos: Las desigualdades:
• -2 < x ≤ 1
• x > -1
• 1 ≤  x ≤ 2
• x ≥ -5
• -5 <  x <  2

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

• PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de la longitud de sus lados. Calcularlo, entonces, es así de sencillo: debes conocer o medir el valor de cada lado y simplemente los sumas.

Ejemplo:

 Si se nos pidiera calcular el perímetro del triángulo de la figura, simplemente habríamos de sumar el valor de sus lados. Así las cosas sería 11cm + 10cm + 9cm = 29 cm. El perímetro del triángulo de la figura es de 29 cm.

• ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Su fórmula es: 

 A veces cuesta determinar cuál es la altura y para que sea sencillo, podemos trazar una línea auxiliar, considerando que se trata de la recta perpendicular trazada desde cualquier vértice a su lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplo:

Si se trata de calcular el área del triángulo de la imagen, debes multiplicar base por altura (que se simboliza por “h” de high en inglés) y dividir entre dos. Sería 20 . 15 /2, de modo que el resultado final, el área del triángulo en cuestión, es igual a 150 cm2.

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Primero lo primero, debemos recordar que:

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.







Podemos utilizarlo para muchas cosas: 
   
Si por ejemplo se duplica el lado de un cuadrado y quisiéramos saber si es cierto que se duplica su diagonal. Tendríamos que usar la fórmula de teorema de pitágoras: 

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

Ejemplo: 

Se llega a igual resultado de la siguiente manera: 

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador: 

Ejemplo:

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando: 

Ejemplo:

¿CÓMO HACER UN CUADRADO MÁGICO?

Un cuadrado mágico es una tabla, con columnas y el mismo número de bloques en cada una. Al sumar las filas, columnas y diagonales deben dar el mismo número(resultado).

Por ejemplo, en este caso, en el primer cuadrado ya podemos sacar el resultado de lo que va a valer cada fila, columna y diagonal simplemente sumando las raíces de la única columna que tiene todos los números, que es la del medio.

Entonces sumamos esos tres números y se hace una factorizacion de raíces, así: 

De esta forma ya encontramos el número que nos tiene que dar como resultado de TODAS las filas, columnas y diagonales, que es el número redondeado en la imagen(15√3)

Luego, pasamos a la columna de arriba donde ya tenemos dos de los números y hacemos lo mismo que la anterior,pero en este caso, ya que no tenemos una de las raíces, en la suma se representa con una x. Lo mismo hacemos con la columna de abajo ya que nos queda similar, así :

Y de ahora en adelante podremos completar el cuadrado mágico mentalmente, ya que nos resultará muy fácil porque tenemos la mayoría de las raíces resueltas.


El procedimiento de el segundo cuadrado, donde nos pasa lo mismo que en el primero, pero en este caso es una diagonal la que aparece completa. De alli, sumamos las raíces y factorizamos. Y se sigue el mismo procedimiento que el anterior, IGUAL. Quedaría algo así:

EL CUADRADO MÁGICO YA RESUELTO QUEDARÍA ASÍ:

• A CONTINUACIÓN, UN INTERESANTE VÍDEO EXPLICATIVO: