TP 2 Y 3: FUNCIONES

FUNCIONES

¿Qué es una función lineal?

La función lineal es un buen modelo para analizar situaciones en las cuales a variaciones iguales de una variable corresponden cambios iguales de la otra variable. Recibe este nombre ya que al graficar será una línea recta. Su dominio y su imagen son los reales.

Su modelo es: f(x)=ax + b

a y b son números cualquiera, x identifica una de las variables ( la independiente) y f(x) = y adopta los valores que se obtienen a medida que x cambia (variable dependiente).

Por ejemplo, en f(x) = 3x − 2 la pendiente es a =3 y la ordenada al origen es b = -2.

El número a (coeficiente de la x) se llama pendiente, y nos indica la inclinación de la recta respecto del eje de las x:

Puede ser CRECIENTE: f(x) = 1x (cuando no tiene ordenada al origen es 0).

DECRECIENTE: f(x)= -2/3x + 2

o CONSTANTE: f(x)= 100 (la pendiente es a=0)

El número b se llama ordenada al origen, y nos indica el corte de la recta con el eje y. Donde la recta corta.

¿Cómo graficar una función lineal?

Lo explicaré con un ejemplo: Tenemos la función f(x)= -2x + 2. A la hora de graficar tomamos dos valores, la A y B.
Marcamos primero b, que es 2.
Después a el valor a, que es -2, lo convertimos en fracción y queda -2/1.
Partiendo de b ya marcado (2) movemos dos números para abajo porque tenemos al -2 (en negativo= baja) y uno para el costado, por el 1 de la fracción que habiamos formado.
Quedaría así:

Si en vez de -2/1 como valor de a, tuviéramos un 3/2, entonces nos movemos desde la ordenada al origen 3 lugares para arriba ya que es positivo y 2 para el costado(derecha).

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA?

Las funciones cuadráticas reciben este nombre porque aparece la variable x elevada al cuadrado. Su dominio e imagen está en el campo de los reales.

Su modelo es: f(x) = ax 2 + bx + c

Donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente.

¿Cómo graficar una función cuadrática?

Los gráficos de funciones cuadráticas dan como resultado una parábola. Si el coeficiente a es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba, si es negativo van hacia abajo. El coeficiente c indica donde corta la parábola en el eje x.

Podemos graficar la función utilizando geogebra, que en este caso es lo más sencillo:
Ejemplo: f(x)= 3x 2- 6x + 5

RECORDEMOS DOMINIO E IMAGEN EN UNA FUNCIÓN

Dominio: Todos los valores que toma la variable x. Para las funciones cuadráticas el dominio esta formado por el conjunto de los números reales. Dom f: R
Imagen: Todos los valores que toma la variable y. Dependerán de cada función, pudiendo ser:

Im[ y_v;+∞) si la gráfica va hacia arriba.
Im [ y_v ; -∞) si la gráfica va hacia abajo

En el caso de el ejemplo mostrado anteriormente su imagen es de (2;∞) infinito porque las ramas de la parábola no se cortan nunca.

¿QUÉ OTRAS COSAS SE ENCUENTRAN EN UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA?

También podemos encontrar dentro de las mismas el vértice, la ecuación del eje de simetría y la intersección con los ejes. Y podemos encontrarlos gracias a que cada uno de estos tiene su respectiva fórmula.

VÉRTICE:Es el punto donde se unen las ramas de la parábola. Es el punto donde la parábola alcanza su máximo o su mínimo.

La coordenada X (horizontal) del vértice se obtiene con la siguiente ecuación:

Xv=

La coordenada Y (vertical) del vértice se obtiene sustituyendo la coordenada x calculada con la expresión anterior y sustituyéndola en la función de la parábola correspondiente.

RAICES: Es el o los puntos donde la gráfica corta al eje x. Una parábola puede tener 2 raíces, una raíz o ninguna. En otras palabras, la función puede cortar el eje “x” en dos puntos, un punto o no cortarla como lo ilustra la figura: